Question

如图所示，已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，C为抛物线的顶点，过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，过点M作ME⊥x轴于点E，使A，M，E三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）让y=0可得抛物线与x轴的2个交点坐标；整理二次函数解析式为顶点式可得抛物线的顶点C的坐标；
（2）易得AP的解析式，与抛物线解析式组成方程组，可得P的坐标，S四边形ACBP=S△ABP+S△ACB，把相关数值代入计算即可；
（3）易得A，M，E三点为顶点的三角形和△PAC均为Rt△，用二次函数解析式设出所求点的坐标，根据三角形中不同的两直角边的对应边成比例可得M可能的坐标．
【解析】
（1）①y=x2-4x+3令y=0，则x2-4x+3=0，
即x1=1，x2=3，
故点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（2，-l）；

（2）∵过B，C两点的直线为y=x-3，AP∥BC，
∴设直线AP为y=x+b，
又∵点A的坐标为（1，0），
∴直线AP为y=x-1，②
由①②可知点P的坐标为（4，3），
所以，S四边形ACBP=S△ABP+S△ACB=；

（3）存在，点M的坐标为M1（0，3），M2（， ），M3（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3，AC=，PC=2，
∴AP2+AC2=PC2，
∴△PAC为Rt△，且∠PAC=90°，
∵ME⊥x 轴，
∴以A，M，E三点为顶点的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假设点M是在x轴上方的抛物线上，设M为（a，a2-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，则有
①Rt△PAC∽Rt△AEM，得，
②Rt△PAC∽Rt△MEA，得，
而AE=|1-a|，ME=a2-4a+3，由①得|1-a|=3（a2-4a+3），
解之 （舍去），a2=1 （舍去），，a4=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a2-4a+3），
解之，a5=0，a6=1 （舍去），a7=6，a8=1（舍去），
综上所述：存在点M的坐标，即为M1（0，3），M2（， ），M3（6，15）．