Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=．
（1）求证：；
（2）如果S₁、S₂分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S₁•S₂的值；
（3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积．

Answer

（1）由AB=AC，根据“等边对等角”得到一对角相等，由已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形BCE与三角形DBA相似，由相似得比例得证；
（2）过A作AH垂直于BC，由AB=AC，根据“三线合一”得到BH等于BC的一半，由BC的长求出BH的长，在根据锐角三角形函数的余弦函数定义，由BH的长和cos∠ABC的值求出AB的长，在直角三角形中，由AB和BH，利用勾股定理求出AH的长，再由第一问的相似得到对应高之比等于相似比，即等于对应边之比，化比例式为乘积式，把求出的AH和BC代入即可求出AH•BC的值，然后利用三角形的面积公式分别表示出S1与S2，进而表示出S1•S2，等量代换后把求出AH•BC的值代入即可求出值；
（3）由∠AEB=∠ACD，根据等角的邻补角相等得到∠BEC=∠ACB，又AB=AC，根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠BEC=∠ACB=∠ABC，根据三角形的内角和定理，等量代换得到∠BAC=∠EBC，又∠AEB=∠ACD，等量代换得到∠BAC=∠D，再根据已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形DBA相似，根据相似得比例，由AB和BC的长求出BD的长，进而求出CD的长，然后由CD边上的高AH，利用三角形的面积公式求出三角形ACD的面积．
【解析】
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA．（2分）
∴．（1分）

（2）作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，BC=4，
∴BH=2．
∵cos∠ABC=，
∴．
∴AB=AC=6．（1分）
在Rt△ABH中，
AH=．（1分）
过E作EG⊥BC，交BC于G，
∵△BCE∽△DBA，
∴．（1分）
∴．（1分）
∴
=．（1分）

（3）∵∠AEB=∠ACD，
∴∠BEC=∠ACB，又∠ABC=∠ACB．
∴∠BEC=∠ACB=∠ABC．
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∠EBC=180°-∠BEC-∠ACB，
∴∠BAC=∠EBC．
∵∠EBC=∠D．
∴∠BAC=∠D．（1分）
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA．（1分）
∴．
∴．（1分）
∴BD=9．
∴CD=5．（1分）
∴．（1分）