Question

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（c＜0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OC²=OA•OB．
（1）求c的值；
（2）若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
（3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P，使△PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）OA与OB的长，就是方程=-x2+bx+c=0的两解，根据韦达定理就可以表示出OA•OB=-2c，OC的长是函数与y轴的交点的纵坐标的绝对值，因而OC2=c2．根据OC2=OA•OB就可以求出c的值．
（2）S△ABC=AB•OC，根据韦达定理可以表示出AB的长，AB边上的高就是C点的纵坐标的绝对值，根据△ABC的面积为3就可以求出b的值，从而求出函数的解析式．
（3）根据二次函数的求根公式就可以求出二次函数的顶点D坐标．过B作BE⊥AC并延长BE到F使EF=BE，则点F和B关于直线AC对称，连接DF，交直线AC于点P，所作的点P满足△PBD的周长最小．可以求出直线AC与直线DF的交点．
【解析】
（1）设A（x1，0），B（x2，0），
∵x2-2bx-2c=0，则x1+x2=2b，x1•x2=-2c
∵二次函数y=的图象与y轴交于点C，
∴C（0，c），
由已知OC2=OA•OB得c2=x1•x2
∴c2=-2c，
又∵c＜0，
∴c=-2．

（2）S△ABC=AB•OC=|x2-x1|•|-c|
=|x2-x1|=
当S△ABC=3时，，得，
又∵该二次函数的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∴b=，
∴该二次函数的解析式为y=

（3）过B作BE⊥AC并延长BE到F使EF=BE，则点F和B关于直线AC对称，
连接DF，交直线AC于点P，则PB+PD=PF+PD=FD，
若直线AC上另外选一点P''，则P''B+P''D=P''F+P''D＞FD，
∴PB+PD＜P''B+P''D，
∴直线AC上的所有点中，存在P到点B和点D的距离和最小，而DB是定值，故所作的点P满足△PBD的周长最小．
作DH⊥x轴，垂足为H，作FG⊥x轴于G点，
由二次函数
∴A（1，0），B（4，0），D（）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAE=∠OAC，
∴△EAB∽△OAC，
∴，而AB=3
∴AE=，BE=，
∴BF=，
同理，由Rt△FGB∽Rt△AEB得，=，=，
∴FG=，GB=，
∴OH=，
∴，
设过点D（，），F（-）的直线的解析式为y=kx+n，则
，
解得，
∴y=-，
而过点A（1，0）和C（0，-2）的直线的解析式为y=2x-2，
由，
得．
∴点P（）为所求．