Question

如图1，E、F、M、N是正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA上可以移动的四个点，每组对边上的两个点，可以连接成一条线段．
（1）如图2，如果EF∥BC，MN∥CD，那么EF______MN（位置），EF______MN（大小）；
（2）如图3，如果E与A，F与C，M与B，N与D重合，那么EF______MN（位置），EF______MN（大小）；

（3）当点E、F、M、N不再处于正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA特殊的位置时，猜想线段EF、MN满足什么位置关系时，才会有EF=MN，画出相应的图形，并证明你的猜想．

Answer

（1）由EF∥BC，MN∥CD，BC⊥CD可得EF⊥MN，且EF=MN．
（2）E与A，F与C，M与B，N与D重合，则EF，MN是正方形的对角线，根据对角线的性质互相垂直且互相平分可得出结论．
【解析】
（1）EF⊥MN，EF=MN；
（2）EF⊥MN，EF=MN；
（3）猜想：当EF⊥MN时，才会有EF=MN，如图，连接EF交MN与O，作EF⊥MN．
证明猜想：如图，作EF⊥MN，EF交MN与O．
过点N作NG⊥BC，过点F作FH⊥AB交MN与U，
又EF⊥MN，在Rt△MNG和Rt△EFH中，∠MGN=∠EHF=90°，FH=NG，
∠MNG+∠NUF=90°，∠EFH+∠NUF=90°
∴∠MNG=∠EFH
所以Rt△MNG≌Rt△EFH，所以EF=MN．