Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴，y轴于A，B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP=S_△AOB，请直接写出点P的坐标．
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过函数y=2x+12求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式；
（2）设出P点坐标，按照等量关系“×|AP|×B到直线AM的距离=S△AOB”即可求出；
（3）判断能否构成等腰梯形，主要看两腰能否等腰，本题应分别把AB、AM、BM看作底来判断．
【解析】
（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
∴直线AM的解析式y=x+6；

（2）设P点坐标（x，x+6），则|AP|=|x+6|，B到直线AM的距离d=，
∴，
解得：x=6或-18．
∴P（6，12）或P（-18，-12）；

（3）存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形．
若以AM为底，BM为腰，过点B作AM的平行线，当点H的坐标为（-12，0）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以BM为底，AM为腰，过点A作BM的平行线，当点H的坐标为（-6，18）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以AB为底，BM为腰，过点M作AB的平行线，当点H的坐标为（-，）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形．
故所求点H的坐标为（-12，0）或（-6，18）或（-，）．