Question

已知：如图，在Rt△ABC中，点D₁是斜边AB的中点，过点D₁作D₁E₁⊥AC于点E₁，连接BE₁交CD₁于点D₂；过点D₂作D₂E₂⊥AC于点E₂，连接BE₂交CD₁于点D₃；过点D₃作D₃E₃⊥AC于点E₃，如此继续，可以依次得到点D₄、D₅、…、D_n，分别记△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面积为S₁、S₂、S₃、…S_n．设△ABC的面积是1，则S₁=    ，S_n=    （用含n的代数式表示）．

Answer

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．再利用在△ACB中，D2为其重心可得D2E1=BE1，然后从中找出规律即可解答．
【解析】
易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
∴S1=S△D1E1A=S△ABC，
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
又D1E1为三角形的中位线，∴D1E1∥BC，
∴△D2D1E1∽△CD2B，且相似比为1：2，
即=，
∴D2E1=BE1，
∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC，
∴D3E3=BC，CE3=AC，S3=S△ABC…；
∴Sn=S△ABC．
故答案为：，．