Question

提出问题：小明是个爱思考的学生，在学习了三角函数后小明发现：
sin90°=1，，90°是45°的两倍，但三角函数值却是倍；
sin30°=______，sin60°=______

Answer

把30°，60°的正弦值代入并计算即可填空；
解决问题：根据题目信息，利用角2α与α表示△ABC的面积，S△ABC=2S△ABD，然后整理，再根据余弦定义，余弦=邻边：斜边，进行代换即可证明；
推广应用：证明思路与解决问题相同，利用角α与β表示△ABD的面积，S△ABD=S△ABC+S△ACD，然后整理，再根据余弦定义，余弦=邻边：斜边，进行代换即可证明，把75°分成30°与45°的和，然后把特殊角的三角函数值代入计算即可．
提出问题：
sin30°=，sin60°=，60°是30°的两倍，但三角函数值却是倍；（3分）

解决问题：如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，设∠BAD=α．
求证：sin2α=2sinαcosα，
证明：根据题目信息，S△ABC=AB•ACsin2α，S△ABD=AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴AB•ACsin2α=2×AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×，
在Rt△ADC中，=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα；（3分）

推广应用：结论：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，（1分）
证明：S△ABD=AB•ADsin（α+β），S△ABC=AB•ACsinα，S△ACD=AC•ADsinβ，
∵S△ABD=S△ABC+S△ACD，
∴AB•ADsin（α+β）=AB•ACsinα+AC•ADsinβ，
即sin（α+β）=sinα×+sinβ×，
在Rt△ACD中，=cosβ，
在Rt△ABC中，=cosα，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
并利用上述关系求出sin75°的值（保留根号）．
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=．（1分）