Question

已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
（1）当直线l：y=x+b与⊙O只有一个交点时，求b的值；
（2）当反比例函数的图象与⊙O有四个交点时，求k的取值范围；
（3）试探究当n取不同的数值时，二次函数y=x²+n的图象与⊙O交点个数情况．

Answer

（1）根据已知条件得出两种符合要求的解析，利用等腰三角形的性质，分别求出即可；
（2）利用特殊点当反比例函数两曲线与圆相切时，求出DF=OF，从而得出xy的值，进而得出取值范围；
（3）根据当n＞1时，有0个交点；②当n=1时，有1个交点；③当-1＜n＜1时，有2个交点；④当n=-1时，有3个交点；
⑤当-1.25＜n＜-1时，有4个交点；⑥当n=-1.25时，⑦当n＜-1.25时，分别分析得出．
【解析】
（1）∵y=x+b与⊙O只有一个交点，
∴y=x+b与x轴，与y轴的交点坐标分别为：（±b，0），（0，±b），
∴△AOB为等腰直角三角形，CO=AC=BC=1，
∴b的值为：；

（2）∵反比例函数的图象与⊙O有四个交点，
∵当图象与与⊙O有二个交点时，
曲线与圆相切，得出DF=OF=，
∴xy=k=，
∴；

（3）①当n＞1时，有0个交点；
②当n=1时，有1个交点；
③当-1＜n＜1时，有2个交点；
④当n=-1时，有3个交点；
⑤当-1.25＜n＜-1时，有4个交点；
⑥当n=-1.25时，有2个交点；
⑦当n＜-1.25时，有0个交点；
简【解析】
∵x2+y2=1而y=x2+n即x2=y-n，
代入得y-n+y2=1，即y2+y-n-1=0，
要使二次函数图象与下半圆只有两个交点，根据对称性，y必须唯一，
∴△=4n+5=0，．