Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．

Answer

（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；
（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF，所以四边形AFCD是菱形．
证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵BE=AD，
∴△ABE≌△ADC，
∴AC=AE．

（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，
∴2∠E=∠CAF+∠FCA，
∵∠E=∠DAC=∠DCA，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠FCA，
∴AD=DC=AF=CF，
∴四边形AFCD是菱形．