Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．⊙A与⊙B外切于点D，并分别与BC、AC边交于点E、F．
（1）设EC=x，FC=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如果△FEC与△ABC相似，求AD：BD；
（3）如果⊙C与⊙A、⊙B都相切，求AD：BD．

Answer

（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，得到BC=5．根据⊙A与⊙B外切于点D，并分别与BC、AC边交于点E、F，得到AF+AB+BE=2AB=6，从而CE+CF=（AB+BC+CA）-（AF+AB+BE）=6．然后用x表示出y即可；
（2）利用△FEC∽△ABC，得到FC：AC=EC：BC和利用△EFC∽△ABC得到EC：AC=FC：BC，分别表示出比例式的各项即可求得两线段的比值；
（3）如果⊙C与⊙A、⊙B都相切，分⊙C与⊙A、⊙B都外切（如图一）和⊙C与⊙A、⊙B都内切（如图二）两种情况讨论求得AD与BD的值．
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC=5．
∵⊙A与⊙B外切于点D，并分别与BC、AC边交于点E、F，
∴AD=AF，BD=BE，
∴AF+AB+BE=2AB=6，
∴CE+CF=（AB+BC+CA）-（AF+AB+BE）=6．
∵EC=x，FC=y，
∴x+y=6，
∴y=6-x，2＜x＜5．

（2）如果△FEC∽△ABC，那么FC：AC=EC：BC，
∴（6-x）：4=x：5，
∴x=，
∴AD：BD=：=4：5；
如果△EFC∽△ABC，那么EC：AC=FC：BC，
∴x：4=（6-x）：5，
∴x=，
∴AD：BD=：=2：7．

（3）若⊙C与⊙A、⊙B都相切，∴有两种情况：
①⊙C与⊙A、⊙B都外切（如图一），
∵CE、CF为⊙C的两条半径，
∴CE=CF，
设CE=x，CF=6-x，
∴x=6-x，∴x=3，
∴AD：BD=1：2；
②⊙C与⊙A、⊙B都内切（如图二），
则CA+AF=CB+BE，
∵CA=4，AF=AC-CF=4-6+x=x-2，
CB=5，BE=BC-CE=5-x，
∴4+（x-2）=5+（5-x），
∴x=4，
∴AD：BD=2：1．