Question

在一次活动课中，老师请每位同学自己用纸板做一个如图所示的有盖的长方体的纸盒，长方体的长、宽、高分别为acm、b cm、c cm．小杨在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现它们满足a（b-c）=3，bc=ab+ac-7”．请同学们算一算，做一个这样的纸盒需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？

Answer

首先由a（b-c）=3，且a，b，c均为正整数，即可求得或，然后分别将它们代入bc=ab+ac-7，即可求得a，b，c的值，再由长方体的表面积为：2（ab+ac+bc），即可求得做一个这样的纸盒需要多少平方厘米的纸板．
【解析】
∵a（b-c）=3，且a，b，c均为正整数，
∴或，
即：或，
①当时，把a=1，b=c+3分别代入bc=ab+ac-7中，得：
（c+3）c=c+3+c-7，
整理得：c2+c+4=0，此方程无实数根．
②当时，把a=3，b=c+1分别代入bc=ab+ac-7中，得：（
c+1）c=3（c+1）+3c-7，
整理得：c2-5c+4=0，
解得c=1或c=4．
∴或，
故长方体的表面积为：
2（ab+ac+bc）=2×（3×2+3×1+2×1）=22（cm2）或2（ab+ac+bc）=2×（3×5+3×4+5×4）=94（cm2）．
∴做一个这样的纸盒需要22cm2或94cm2的纸板．