根据勾股定理求出AC,推出∠ABO,得到等边三角形AOB,推出OA=AB=OB,∠ABO=∠BAO=∠AOB=60°,求出AB=BF,根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出BF=AB,根据三角形外角性质求出∠H=∠HAC,推出AC=CH,AF≠FH,根据矩形性质推出DE=OE=OD即可求出答案.
【解析】
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,∠BAD=∠ABC=90°,AO=OC,OD=OB,AC=BD,
∴AO=OB=OD,
∵AB=1,AD=,由勾股定理得:AC=2,
∴∠ABD=60°,
∴△ABO是等边三角形,
∴AB=OA=OB,∠BAO=∠AOB=60°,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF=45°,
∵∠DAF=∠AFB,
∴∠BAF=∠BFA,
∴BF=AB=OB,∴②正确;
∵CE⊥BD,∠DOC=∠AOB=60°,
∴∠ECO=30°,
∵∠FAC=60°-45°=15°,
∴∠H=∠ACE-∠CAF=15°=∠CAF,
∴AC=CH,∴③正确;
∵CF和AH不垂直,∴AF≠FH,∴①错误;
∵∠CEO=90°,∠ECA=30°,
∴OE=OC=OD=DE,
BE=3DE,∴④正确.
故答案为:②③④.