Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，边AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．
（1）当矩形ABCD沿直线y=-x+b折叠时（如图1），求点A'的坐标和b的值；

（2）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，
①求点A′的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；
②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）k的取值范围是______；k的取值范围是______；k的取值范围是______．

Answer

（1）设直线y=-x+b与CD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），根据△DOA′∽△OFE，所得，即，所以a=．可得点A′的坐标为（，1），连接A′E，则A′E=OE=b，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，即b2=（）2+（1-b）2，解得b=；
（2）设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，，设点A′的坐标为（a，1）可证△DOA′∽△OFE，所以，即，所以a=-k，A′点的坐标为（-k，1），连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b，根据A′E2=A′D2+DE2，得b2=（-k）2+（1-b）2，所以b=．
（3）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，在题中图2中：-2≤k≤-1；图3中：-1≤k≤；图4中：-2+≤k≤0．
【解析】
（1）如图1，设直线y=-x+b与CD交于点E，与OB交于点F，与y轴交于G点，连接A'O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴，即，
∴a=，
∴点A′的坐标为（，1），
连接A′E，则A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，
即b2=（）2+（1-b）2，
解得b=；

（2）如图1，设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则：
OE=b，，
设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴，即，
∴a=-k．
∴A′点的坐标为（-k，1）．（7分）
连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E2=A′D2+DE2，
∴b2=（-k）2+（1-b）2，
∴b=；

（3）在题中图2中：-2≤k≤-1；
图3中：-1≤k≤；
图4中：-2+≤k≤0．