Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+c（a≠0）过点A（-6，0）和点B（2，8），线段AB交y轴于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线y=ax²+c于点N，求线段MN的长度的最大值；
（3）设抛物线y=ax²+c与x轴的另一个交点为E，连接CE．过点O作CE的平行线l．在直线l上是否存在点P，在y轴右侧的抛物线y=ax²+c上是否存在点Q，使得四边形COPQ为直角梯形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-6，0）、B（2，8），代入y=ax2+c（a≠0），求出二次函数解析式即可求出；
（2）首先求出直线AB的解析式，设点M的坐标为（m，y1），因为点M在线段AB上，得出y1=m+6，设N点坐标为（m，y2），得出
y2的关系式，相减，利用二次函数的最值求出即可；
（3）根据直角梯形的判定方法，分别由①若CQ∥OP，②CO∥PQ，进行分析得出．
【解析】
（1）因为抛物线y=ax2+c（a≠0）过点A（-6，0）、B（2，8），
所以
解这个方程组，
得
所以抛物线的解析式为：；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
因为A、B坐标分别为A（-6，0），B（2，8），
所以
解这个方程组，得
所以直线AB的解析式为：y=x+6．
设点M的坐标为（m，y1）（-6≤m≤2），因为点M在线段AB上，所以y1=m+6．
因为MN⊥x轴，我们可设N点坐标为（m，y2）．
因为点N在抛物线上，所以．
因为点N在点M的上方，
所以MN=y2-y1==．
即MN=．
所以当m=-2时，MN长度的最大值为4．

（3）存在．理由如下：
要使四边形COPQ为直角梯形，则四边形COPQ
首先必须为梯形，即需满足CQ∥OP或CO∥PQ．
①若CQ∥OP，
因为O、P两点在直线l上，即有CQ∥l．
又因CE∥l，所以点Q在直线CE上．
因为点Q又在抛物线上，
所以点Q是直线CE与抛物线的交点．
由已知E是直线CE与抛物线的交点，
所以E就是满足条件的一个Q1点．
在中，令y=0，即，解得x1=6，x2=-6（舍去）．
所以E（6，0），即Q1（6，0）．因为直线CE与抛物线的另一个交点在第二象限，故舍去．
过点Q1（6，0）作Q1P1⊥l，垂足为P1点，过点P1作P1F⊥x轴，垂足为F．
在直线y=x+6中，令x=0，得y=6．即点C的坐标为（0，6）．
在Rt△COQ1中，因为OC=OQ1=6，所以∠CQ1O=45°．
因为CQ1∥l，所以∠Q1OP1=∠CQ1O=45°．
所以△OP1Q1是等腰直角三角形．
所以，，所以P1点的坐标是（3，-3）．
②CO∥PQ，
因为直线l与直线OC不垂直，所以点C必为直角顶点．CQ⊥y轴．
因为点C的坐标为（0，6），我们可设Q（n，6），
因为点Q在抛物线上，
所以，
解得：（舍去）．
得Q2点的坐标为．
设P2Q2（点P2在直线l上），交x轴于点G，则．
在Rt△OGP2中，∠EOP2=45°，，
所以点P2的坐标为．
综上所述，存在满足条件的点P和点Q，坐标分别是P1（3，-3），Q1（6，0）或．