Question

如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；    
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上找一点P，使PA+PB最小．求P点坐标？

Answer

（1）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为 y=．
（2）由正比例函数 y=x的图象与反比例函数 y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点求得A为（2，1）．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，即可求得P点的坐标．
【解析】
（1）设A点的坐标为（a，b），则 b=
∴ab=k
∵ab=1，∴k=1
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为 y=．（3分）

（2）根据题意画出图形，如图所示：
得=x，解得x=2或x=-2，
∵点A在第一象限，
∴x=2
把x=2代入y=得y=1，
∴A为（2，1）（4分）
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B点的横坐标为1，
B为反比例函数在第一象限图象上的点，
∴xy=2，
∴y=2，
∴B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：，
解得： 
∴BC的解析式为y=-3x+5（6分）
当y=0时，x=，
∴P点为（，0）．（7分）