Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上的一点，圆O过点A并与边BC相切于点D，与边AC相交于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若圆O的半径为4，∠B=30°，求AC长．

Answer

（1）连接DF，OD，构造出直角三角形，根据弦切角定理可知∠CDA=∠DFA，∠C=∠ADF，AD=AD；故△ACD≌△ADF，则AD是∠CAB的角平分线．
（2）因为∠B=30°，所以∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分线，故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．根据三角函数值的定义可求出AD，AC的值．
【解析】
（1）连接DF，OD，则∠ADF=90°，
因为BC是⊙O的切线，

所以∠CDA=∠DFA，△ACD≌△ADF，∠CAD=∠DAB．
即AD是∠CAB的角平分线．

（2）∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分线，
故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．
故AD=AF•cos30°=8×=4．
同理，AC=AD•cos30°=4×=6．故AD=4．AC=6．