Question

如图，二次函数y=ax²+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；
（3）试确定以点A为圆心，半径为的圆与直线OB的位置关系．

Answer

（1）先求出A、B两点坐标，将A、B两点入坐标代入y=ax2+bx即可解得二次函数的表达式；
（2）设点C的坐标为（t，t2），表示出S关于t的解析式，观察解析式可知当t=1时，四边形OABC面积S取最大值；
（3）过点A作AD⊥OB于D，根据三角形的面积公式求出AD的长度，再判断AD与⊙A的半径的关系，可知圆A与直线OB相交．
【解析】
（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，
得A的坐标为（-1，1），B的坐标为（2，4）．
∵A，B在二次函数y=ax2+bx的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2；

（2）如图，设四边形OABC的面积为S，点C的坐标为（t，t2），0＜t＜2，
分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足依次为A1，B1，C1，
则OA1=1，AA1=1，OC1=t，C1C=t2，B1C1=4-t，BB1=4，
于是，，
=，
=-t2+2t+3，
=-（t-1）2+4，
∴当t=1时，S的最大值为4．
即四边形OABC的面积的最大值为4；

（3）可求得，
∴OA2+AB2=OB2
∴∠OAB=90°
过点A作AD⊥OB于D，
由，得
，
∵，
∴圆A与直线OB相交．