Question

如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（ ）

A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

Answer

根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正确．
【解析】
延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则=，=，+=+≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
∴PA•PE=PB•PC，故③正确；
故选B．