Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Answer

（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜45°时②当45°≤α＜90°时．
【解析】
（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．

（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，
∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴．
∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（AC）2=8．

（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=
于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG
=8-x-（2＜x＜4）
情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
由于AP=，PB=-4，易证：△PBM∽△DNM，
∴即解得．
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-．
于是y=MQ•DN=4-x-（0＜x≤2）．
综上所述，当2＜x＜4时，y=8-x-．
当0＜x≤2时，y=4-x-（或y=）．