Question

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．
（Ⅰ）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）求⊙O的半径；
（Ⅲ）设⊙O交BC于点F，连接EF，求的值．

Answer

（1）连接OD，由于BD是∠ABC的角平分线，那么弧DE=弧DF，而OD是半径，根据垂径定理可知OD⊥EF，而DE⊥DB，易知BE是直径，从而可知∠BFE=90°，易证OD∥BC，又知∠ACB=90°，易得ADO=90°，进而可证AD是⊙O的切线；
（2）先设⊙O的半径是x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB=15，那么AO=15-x，而OD∥BC，可得AO：AB=OD：BC，
即（15-x）：15=x：9，解即可；
（3）由于BE是直径，那么∠BFE=90°，从而有∠ACB=∠BFE，易证EF∥AC，从而有EF：AC=BE：AB，可求．
（1）证明：如右图所示，连接OD，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴弧DE=弧DF，
又∵OD是半径，
∴OD⊥EF，
∵DE⊥DB，
∴∠BDE=90°，
∴BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴EF⊥BC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）【解析】
设⊙O的半径是x，
在Rt△ABC中，AB==15，
∴AO=15-x，
∵OD∥BC，
∴AO：AB=OD：BC，
∴（15-x）：15=x：9，
解得x=；

（3）【解析】
∵BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴∠ACB=∠BFE，
∴EF∥AC，
∴EF：AC=BE：AB，
∴==．