Question

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是______；
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

Answer

（1）要证∠AFD=∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；
（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA；
（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA=BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，继而证得∠OAD=∠ODA，OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．
【解析】
（1）∠AFD=∠DCA．
证明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠AFD=∠DCA；

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得：
AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，，
∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC，
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF，
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
方法二：连接AD，
同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC，
∵△ABC≌△DEF，
∴FD=CA，
在△AFD和△DCA中，
，
∴△AFD≌△DCA，
∴∠AFD=∠DCA；

（3）如图，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，
∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，
∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD；

方法二：延长BO交AD于点G，
同方法一，OA=OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABG和△DBG中，
，
∴△ABG≌△DBG，
∴∠AGB=∠DGB=90°，
∴BO⊥AD．