Question

已知，如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过x轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=a，AB=2．
（1）求抛物线的对称轴及其中C的值．
（2）求抛物线的解析式．
（3）直线BP与⊙P交于另一点D，求证D点在抛物线对称轴上，并求过点D⊙P的切线的解析式．

Answer

（1）利用对称轴公式求出即可求出对称轴，以及将C点代入求出C的值即可；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系求出x1+x2=-，x1•x2=-，进而求出a的值即可；
（3）首先过D作DE⊥y轴于E，证明△BOP≌△DEP，利用勾股定理求出D点坐标，再利用过D点⊙P的切线交y轴于F，证出△PDE∽△DEF，从而求出F点的坐标，即可得出直线DF的解析式．
【解析】
（1）抛物线的对称轴为：x=-=-a=，
∵抛物线经过点C（0，-）
∴C=-；

（2）由题意得：x1，x2是方程ax2+ax-=0的两根，
∴x1+x2=-，x1•x2=-，
又∵AB=x1-x2=2，
∴（x2-x1）2=12
（x1+x2）2-4x1x2=12
∴3+4×=12
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-，

（3）在y=x2+x-，
中，令y=0，得
4x2+4x-9=0，
解得：X1=-，X2=，
∴A（-，0），B（，0）．
过D作DE⊥y轴于E
∵∠OPB=∠EPD，∠POB=∠PED，PB=PD
∴△BOP≌△DEP（SAS）
∴DE=OB
∴D点的横坐标为-，
∴D点在抛物线的对称轴X=上，
设⊙P的半径为R，则有：（-R）2+（）2=R2，
∴R=1∴OP=，
∴PE=OP=，
∴D（-，-1），
设过D点⊙P的切线交y轴于F，
∵DF为⊙P切线，
∴∠PDF=90°，
又∵DE⊥y轴，
∴△PDE∽△DEF，
DE2=PE•EF
∴EF=，
∴F（0，-），
设直线DF的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线DF的解析式为：y=-x-．