Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．

Answer

（1）利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用对应边的比值相等求出即可；
（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；
（3）分当0≤t≤2时与当6≥t＞2时，进行讨论得出符合要求的答案．
【解析】
（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴．
即，
∴QM=1．

（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴，
∴；
③当2＜t≤6时，
可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，
此时t=4，
综上所述，t=1或或4；

（3）如图1，当0≤t≤2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得．
即，
∴QM=2t．
∴QE=4-2t．
∴S△PQC=PC•QE=-t2+2t，
即y=-t2+2t，
当6≥t＞2时，如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．
由题意得，BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA．
∴四边形AMQP为矩形．
∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2，
∴S△PQC=PQ•CH=，
即y=，
综上所述y=-t2+2t（0≤t≤2），
或y=（2＜t≤6）．