Question

如图，矩形ABCD，过对角线的交点O作OE⊥BC于E，连接DE交OC于O₁，过O₁作O₁E₁⊥BC于E₁，连接DE₁交OC于O₂，过O₂作O₂E₂⊥BC于E₂，…，如此继续，可以依次得到点O₃，O₄，…，O_n，分别记△DOE，△DO₁E₁，△DO₂E₂，…，△DO_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n-1．则S_n=    S_矩形ABCD．

Answer

根据矩形的性质推出△ABD≌△CDB，得到△ABD和△CBD的面积相等，且等于矩形面积的一半，根据等底等高的数据线的面积相等，求出S1，同理求出S2、S3，根据结果得出规律，即可求出答案．
【解析】
∵矩形ABCD，
∴∠DCB=90°，AD=BC，AB=CD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴S△ABD=S△CBD=S矩形ABCD，
∵矩形ABCD，
∴OB=OD，
∵OE⊥BC，∠DCB=90°，
∴OE∥CD，
∴BE=DE，
∴S△DBE=S△DEC=S△DBC，
∴S1=S△DOE=S△BOE=S△DBE=S△DBC=×S平行四边形ABCD，
∵BO=DO，BE=CE，OE∥CD，
∴===，
同理：S2=××S矩形ABCD=×S矩形ABCD，
S3=×S矩形ABCD，
…
SN=×S矩形ABCD=S矩形ABCD，
故答案为：．