Question

如图，扇形ODE的圆心角为120°，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形ODE内
（1）请连接OA、OB，并证明△AOF≌△BOG；
（2）求证：△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的．

Answer

（1）如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，根据O是正三角形的中心，求出OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，然后证明∠AOF=∠BOG，于是即可证明△AOF≌△BOG（ASA）；
（2）因为重叠部分总等于三角形面积的 ，可以先从三角形考虑，O为中心也就是与正三角形的中心角重合，所以应为120°，证明是要分两种情况：即特殊和一般，特殊情况时就是猜想所用的情况，显然成立，一般情况的证明从三角形全等把四边形的面积分解成两个三角形，最后再归到正三角形的中心角为120°的三角形．
证明：（1）如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，
∴∠AOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中 ，
∴△AOF≌△BOG（ASA），

（2）当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的 ．
证明如下：
①当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时：
显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的 ；
②当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时：
根据（1）中△AOF≌△BOG（ASA），
即S四边形OFBG=S△AOB=S△ABC，
即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的 ，
同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立．
由①、②可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的 ．