Question

已知：如图，二次函数y=x²-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=x²-4上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）把x=0，y=0分别代入求出y、x即可；
（2）设P（m，y），根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出y即可；
（3）根据平行四边形的性质得到PQ=AB=4，求出Q的坐标，代入抛物线的解析式，求出m即可．
【解析】
（1）y=x2-4，
x=0时，y=-4，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4），
答：A、B、C三点的坐标分别是（-2，0），（2，0），（0，-4）．

（2）设P（m，y），
∵以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，
∠PDB=∠BOC=90°，BD=m-2，DP=y，OD=4，OB=2，
只要=或=就行，
代入得：=或 =，
解得：y=m-，y=2m-4
∴P（m，m-），（m，2m-4），
答：P的坐标是（m，m-），（m，2m-4）．

（3）∵平行四边形ABPQ，
∴PQ=AB=4，
则Q的坐标是（m-4，m-）或（m-4，2m-4），
代入y=x2-4得：m-=（m-4）2-4或2m-4=（m-4）2-4，
解得：m1=＞4，m2=＜4（舍去），m3=2＜4（舍去），m4=8＞4，
答：抛物线y=x2-4上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，m的值是或8．