Question

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC²=AG•AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF•GA=GH•GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．

Answer

（1）延长CG交⊙O于H，根据垂径定理求出∠ACH=∠AFC，证△AGC∽△ACF即可；
（2）根据垂径定理求出∠ACG=∠GFH，证△GFH∽△GCA即可推出答案；
（3）证△ACD∽△ABC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可推出结论；证△ADG∽△AFB即可．
（1）证明：延长CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，弧CA=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
∴△AGC∽△ACF，
∴=，
即AC2=AG•AF．

（2）证明：∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
 又∠G=∠G，
∴△GFH∽△GCA，
∴=，
∴GF•GA=GC•CH．

（3）答：CD2=AD•DB，AC2=AD•AB；EF•EC=EA•EB，AF•GA=AD•AB．