Question

如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C₁DE的位置．
（1）求C₁点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C₁的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S_△AMF：S_△OAB=16：3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等边三角形的性质，可以求出．
（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．
（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F，B的坐标即可求出解析式．
（4）当M在x轴上方或下方，分两种情况讨论．
【解析】
（1）利用等边三角形的性质可得C1（3，）；

（2）∵抛物线过原点O（0，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx，
把A（2，0），C′（3，）代入，得，
解得a=，b=-，
∴抛物线解析式为y=x2-x；

（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°，
又∵AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
把B（1，），F（-2，0）代入，得，
解得k=，b=，
∴直线BF的解析式为y=x+；

（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，x2-x），
S△AMF：S△OAB=[×4×（x2-x）]：[×2×]=16：3，
得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2，
当x1=4时，y=×42-×4=，
当x1=-2时，y=×（-2）2-×（-2）=，
∴M1（4，），M2（-2，）；
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，x2-x），
S△AMF：S△OAB=[-×4×（x2-x）]：[×2×]=16：3，
得x2-2x+8=0，b2-4ac＜0无解，
综上所述，存在点的坐标为M1（4，），M2（-2，）．