Question

直线l的解析式为，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点．
（1）求点P的坐标及⊙P的半径R；
（2）若⊙P以每秒个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围；
（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，请直接写出此时t的值．

Answer

（1）直线l的解析式y=+8，与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A（-，0），B（0，8），再得出△ABO∽△BPO，进而求出OP的长，再利用勾股定理求出即可．
（2）由R≥点P到直线L的距离，则⊙P始终与直线l有交点，求得t的取值范围．
（3）先假设存在这样的t，然后由二次函数最值求法求出t值．
（4）利用在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，即PQ⊥AB时就符合要求求出即可．
【解析】
（1）如图，由于直线ly=+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∵y=x+8，
∴y=0，x=-．A（-，0），
∴x=0，y=8．B（0，8），
又OB⊥AP，AB切⊙P于B点，可以得到△ABO∽△BPO，
∴=，
∴=，
∴OP=6，
P为圆心的圆与直线L相切于B点．
R=PB==10；

（2）∵R是点P到直线L的距离，则⊙P始终与直线l有交点．
P[（6-），0]，R=10-，L：3x-4y+32=0，
点P到直线L的距离H=|10-|，
10-≥|10-|，
10-≥10-≥-（10-），
t≤0，
点P到直线L的距离：H=|10-2t|，
10-≥10-2t≥-（10-），
7.5≥t≥0；

（3）∵（ ）2=R2-H2=（10-）2-（10-2t）2=（-）×（t-）2+50，
t=，（ ）2最大=50，a最大=10 ；

（4）∵在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，
即△APQ与△ABO相似，∴PQ垂直AB，
∴⊙P与直线L相切，
t=0，或t=7.5．