Question

已知k是大于2的整数，抛物线y₁=x²-2x+k-2与x轴有两个不同的交点，与y轴交于点A，直线y₂=（k-2）x+b经过抛物线的顶点M且与抛物线交于点B，与y轴交于点C（如图）
（1）求y₁与y₂的函数解析式．
（2）求证：AB是△AMB的外接圆直径．
（3）求证：∠CAM=∠MBA且CA²=CM•CB．

Answer

（1）抛物线与x轴有两个交点则△＞0，即22-4××（k-2）＞0，而k是大于2的整数，即可得到k的值，确定抛物线的解析式，根据顶点坐标公式得到其顶点M的坐标，然后把M点坐标代入y2=x+b可确定直线的解析式；
（2）先联立抛物线与直线的解析式得到方程组，解方程组得到B点坐标（4，1），于是有AB平行于x轴，易AB⊥MD，DA=DB，并且MD=AB，根据等腰直角三角形的判定方法得到△MAB为等腰直角三角形，即∠AMB=90°，再根据圆周角定理的推论即可得到结论；
（3）易证得Rt△CAM∽Rt△CBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）【解析】
∵抛物线y1=x2-2x+k-2与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，即22-4××（k-2）＞0，解得k＜4，
而k是大于2的整数，
∴k=3，
∴y1=x2-2x+1；
∴顶点M的坐标为（2，-1），
而y2=x+b，
把M（2，-1）代入得，-1=2+b，解得b=-3，
∴y2=x-3；

（2）证明：如图，抛物线的对称轴交AB与D点，
解方程组得或，
∴B点坐标为（4，1），
而A点坐标为（0，1），
∴AB平行于x轴，
∴AB⊥MD，DA=DB，
∴MD=1-（-1）=2，而AB=4，
∴MD=AB，
∴△MAB为等腰直角三角形，即∠AMB=90°，
∴AB是△AMB的外接圆直径；

（3）证明：∴AB∥x轴，
∴∠BAO=90°，
∴Rt△CAM∽Rt△CBA，
∴∠CAM=∠MBA，CA：CB=CM：CA，即CA2=CM•CB．