Question

已知Rt△ABC的斜边AB=，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0的两个实数根．
（1）求m的值．
（2）求Rt△ABC的内切圆的半径．

Answer

（1）根据根与系数的关系得到AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，求出AC2+BC2=4m2+1，根据勾股定理得出方程即可求出m；
（2）求出方程的解得出AC、BC，连接OD、OF，根据三角形的内切圆求出∠ODC=∠OFC=90°=∠C，推出四边形ODCF是正方形，根据正方形的性质得出OD=OF=CD=CF，根据切线长定理得出AC-OD+BC-OD=AB，代入求出即可．
（1）【解析】
∵两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2-（2m+1）x+2m=0的两个实数根，
∴AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，
∴AC2+BC2=（AC+BC）2-2×AC×BC=（2m+1）2-4m=4m2+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴4m2+1=5，
∵m＞0，
∴m=1，
答：m的值是1．

（2）【解析】
把m=1代入得：x2-3x+2=0，
∴x1=1，x2=2，
∴AC=1，BC=2，
连接OD、OF，
∵圆O切AC于D，切BC于F，
∴∠ODC=∠OFC=90°=∠C，
∵OD=OF，
∴四边形ODCF是正方形，
∴OD=OF=CD=CF，
∵圆O切AC于D，切BC于F，切AB于E，
∴AE=AD，BE=BF，
∴AC-OD+BC-OD=AB，
∴1-OD+2-OD=，
OD=，
答：Rt△ABC的内切圆的半径是．