Question

一次函数y=-2x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点，点C的坐标为（2，0）．M（0，m）在B点的下方，以M为圆心，以MC为半径画圆．
（1）求出A，B点的坐标；
（2）若圆M与直线AB相切，求m的值；
（3）设圆M与直线AB相切时的圆心分别为M₁、M₂，求证：M₁C与M₂圆相切．若圆M与直线AB相交，求m的取值范围．（不用写出理由，只要写出结论）

Answer

（1）利用一次函数与y轴相交，即x=0时，y=6，与x轴相交，即当y=0时，x=3，即可得出答案；
（2）利用过M作ME⊥AB，那么，△BME∽△BAO，即得出比例式，再利用勾股定理可求出m的值；
（3）利用M1O•M2O=OC2，以及∠M1OC=∠COM2，得出△COM1∽△M2CO，即可得出M1C与M2圆相切进而求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵一次函数y=-2x+6，x=0时，y=6，当y=0时，x=3，
  所以一次函数y=-2x+6的图象与x轴的交点A（3，0），与y轴交点B（0，6）
∴A，B点的坐标为：A（3，0），B（0，6）；

（2）根据圆心到直线的距离等于圆的半径这个切线的定义列方程．
过M作ME⊥AB，那么，
△BME∽△BAO，
∴=，
=，
∴ME=在Rt△MOC中，由勾股定理得：
MC=，
∴
解得m=1或m=-4．
∴m的值为：1或-4；

（3）∵M1O•M2O=OC2，
∠M1OC=∠COM2，
∴△COM1∽△M2CO，
即：∠M1CO=∠CM2O，
∴∠M1CO+∠OCM2=90°，
∴M1 C⊥M2C．
∴M1C与圆M2相切．
若圆M与直线AB相交：1＜m＜6或m＜-4．