Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0）．如图所示，B点在抛物线y=x²+x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先根据题意推出∠BCD=∠COA，然后BC=AC，根据全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定△BDC≌△COA；
（2）首先（1）所得的结论，即可推出OC=BD=1，即可得B点的纵坐标，设出直线的函数关系式，把B，C两点的坐标代入，求出k、b，即可推出结论；
（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析①以AC为直角边，A点为直角顶点，根据题意推出P1点为BC与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC的解析式和抛物线的解析式，即可推出P1点的坐标，②以AC为直角边，C点为直角顶点，做AP2⊥AC，设与抛物线的对称轴交于P2点，确定点P2的位置，由OA=CD，即可推出A点的坐标，根据AP2∥BC，即可推出直线AP2的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出P2的坐标．
（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）【解析】
∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C点的坐标为（-1，0），
∴BD=OC=1，
∴B点的纵坐标为1，
∵B点的横坐标为-3，
∴B点的坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴，
∴解方程组得，
∴直线BC所在直线的解析式为：y=-x-，

（3）【解析】
存在，
∵抛物线的解析式为：y=x2+x-2，
∴y=x2+x-2
=（x+）2-，
∴二次函数的对称轴为x=-，
①若以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P1点为直线BC与对称轴直线x=-的交点，
∵直线BC所在直线的解析式为：y=-x-，
∴，
∴解得，
∴P1点的坐标为（-，-）；
②若以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
∴过点A作AP2∥BC，交对称轴直线x=-于点P2，
∵OD=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A点的坐标为（0，2），
∴直线AP2的解析式为y=-x+2，
∴，
∴解得：，
∴P2点的坐标为（-，），
∴P点的坐标为P1（-，-）、P2（-，）．