Question

如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF；
（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer

（1）本题的关键是求三角形ADE和ABF全等，以此来得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，这两个三角形中已知的条件有AD=BA，一组直角，关键是再找出一组对应角相等，可通过证明∠DAF和∠ABF来实现．（通过平行和等角的余角相等来证得）
（2）可通过证明三角形ABG、ABF、BFG相似来得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之间的比例关系，根据AB=2BG，来得出AF，BF，BF，FG之间的比例关系，然后根据（1）中得出的结果来求BF，FG的大小关系．
（3）方法同（1）还是正三角形ADE和ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不过本题的结论是DE+BF=EF．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．

（2）【解析】
EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴===2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG．

（3）【解析】
如图，DE+BF=EF．