Question

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为    ．

Answer

分类讨论：当BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位线的性质得到DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=AC=2，可得到BQ与QM的长，然后利用等腰三角形的性质得到∠3=90°-∠B，易得∠2=∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性质得到∠EDF=∠A=90°-∠B，则∠1=∠B，即∠1=∠2，则△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的性质得到PN：QM=DN：DM，代值计算可得CP，从而求得AP；
当DB=DQ，则Q点在C点，易证△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的相似比即可得到CP，从而求得AP；
当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，得到∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，易证Rt△APD∽Rt△ABC，然后根据三角形相似的相似比即可求得AP．
【解析】
（1）当BD=BQ，
∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，
过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，
∵D为AB的中点，
∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=AC=2，
∴BQ=BD=，QM=-2=，
∴∠3=90°-∠B，
而∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠B，
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A=90°-∠B，
而∠1+∠EDF+∠2=90°，
∴∠1=∠B，即∠1=∠2，
∴△DQM∽△DPN，
∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，
∴PN=，
∴AP=+=；

（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，
DA=DC=，
而Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴△CPD∽△CDA，
∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，
∴CP=，
∴AP=3-=；

（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，
而∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，
∴AP=．
故答案为或或．