Question

在直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2tx+t²-t（t＞0）与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），直线l：y=kx经过抛物线的顶点C，与抛物线的另一个交点为D．
（1）求抛物线的顶点C的坐标（用含t的代数表示），并求出直线l 的解析式；
（2）如图①，当时，探究AC与BD的位置关系，并说明理由；
（3）当t≠1时，设△ABC的面积为S₁，△ABD的面积为S₂，用含t的代数式表示的值．

Answer

（1）先把抛物先的解析式化为顶点式的形式，求出其顶点坐标，再把其顶点坐标代入y=kx即可求出k的值，进而求出直线l的解析式；
（2）把t=代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-）2-，令y=0即可求出A、B两点的坐标，把此抛物线的解析式与直线l的解析式联立可求出C、D两点的坐标，再由tan∠DBA=tan∠CAB=可得出∠DBA=∠CAB，由平行线的判定定理可知AC∥BD；
（3）由△ABC、△ABD同底可知=||，把直线l与抛物线的解析式联立求出x1，x2的值，代入直线解析式可得出yC，yD的值，进而可得出结论．
【解析】
（1）y=x2-2tx+t2-t=（x-t）2-t，
∴顶点C的坐标为（t，-t），
∵y=kx经过抛物线的顶点C，
∴将点C代入y=kx，即-t=kt，
∵t≠0，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x；

（2）把t=代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-）2-，令y=0，解得：x1=，x2=-，
∴A（-，0）、B（，0）
联立方程，解得：x1=-，x2=，
∴C（，-）、D（-，）
∴tan∠DBA=tan∠CAB=，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AC∥BD；

（3）∵△ABC、△ABD同底，
∴=||
联立方程，
解得x1=t，x2=t-1，
∴yC=-t，yD=1-t，
∴=||=||=．