Question

某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10^-3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）相吻合，并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7.5微克．
（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图；
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大并求出血液中的最大含药量；
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）

Answer

（1）由题意可列出二次函数的方程组解得a，b，c．求出函数关系式；
（2）要求最大值，把函数关系式用配方法表达出来即可；
（3）令y=0，求出x的实际值，就是一次服药后的有效时间．
【解析】
（1）由题意得，
解得，
所以y=-x2+4x，
示意图如图所示：

（2）由题意y=-x2+4x=-（x-4）2+8，
所以服药后4小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液8微克；

（3）当y=0时，x1=0，x2=8，
故一次服药后的有效时间为8小时．