Question

已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法将A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；
（2）将两函数解析式联立，得出点C的坐标，再利用平行线的性质，进而求出=，再利用二次函数最值求出即可；
（3）分别根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A时结合图形求出即可．
【解析】
（1）设直线L解析式为y=kx+b，
将A（6，0）和B（0，12）代入，得：
，
解得：，
∴直线L解析式为y=-2x+12；

（2）解方程组：，
得：，
∴点C的坐标为（4，4），
∴S△COP=x×4=2x；
∵PD∥l，
∴=，
而=，
∴=，
即=，
∴△PCD的面积S与x的函数关系式为：
S=-x2+2x，
∵S=-（x-3）2+3，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是3．

（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形，
∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），
根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A时分别求出即可，
当P1C=CA时，P1（2，0），
当P2A=AC时，P2（6-2，0），
当P3A=AC时，P3（6+2，0），
当P4C=P4A时，P4（1，0），
∴点P的坐标分别为：
P1（2，0），P2（6-2，0），P3（6+2，0），P4（1，0）．