Question

如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是______三角形；
（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是______三角形．

Answer

（1）当∠QPA=90°时，由于∠QPO=∠QPA=90°，PQ=PO，则△OPQ是等腰直角三角形，∴∠QOA=45°．又由于OQ⊥CQ，所以∠C=45°，即△PQC是等腰直角三角形；
（2）由等边对等角和三角形的外角与内角的关系知，∠C=90°-∠QOC=90°-30°=60°，故△QCP是等边三角形；
（3）由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP，∠C=90°-∠QOC，而∠QOC=∠OQP，∴∠C=∠PQC．故△QCP一定是等腰三角形．
【解析】
（1）等腰直角三角形；

（2）当∠QPA=60°，△QCP是等边三角形．
证明：连接OQ．
CQ是⊙O的切线，
∴∠OQC=90°．
∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠QOP．
∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°，
∴∠QCO=∠CQP．
∴PQ=PC．
又∠QPA=60°，
∴△QCP是等边三角形；

（3）等腰三角形．