Question

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值为    ．

Answer

首先根据根的判别式求出a的取值范围，由根与系数的关系可得：x1+x2=-a，x1•x2=a+3，又知x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=a2-2a-6，则二次项系数大于0，然后利用配方法即可求出最值．
【解析】
∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的两个实数根，
∴△=a2-4（a+3）=a2-4a-12=（a+2）（a-6）≥0，
∴a+2≥0，a-6≥0或a+2≤0，a-6≤0，
∴a≥6或a≤-2，
由根与系数的关系可得：
x1+x2=-a，x1•x2=a+3，
又知x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=a2-2a-6=（a-1）2-7，
∴a=-2时，有最小值，
所以最小值为2．