Question

已知a是实数，且a³+3a²+3a+2=0，则（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值是    ．

Answer

首先对a3+3a2+3a+2=0进行因式分解，转化为（a+2）（a2+a+1）=0，因而可得a+2=0或a2+a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值．
【解析】
∵a3+3a2+3a+2=0⇒（a3+1）+（3a2+3a）+1=0⇒（a+1）（a2-a+1）+3a（a+1）+1=0⇒（a+1）（a2-a+1+3a）+1=0
⇒（a+1）3+1=0⇒（a+2）[（a+1）2+1-（a+1）]=0⇒（a+2）[（a+1）2-a]=0⇒（a+2）（a2+a+1）=0
∴a+2=0或a2+a+1=0
当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010=1-1+1=1
当a2+a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故答案为1