Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A和B，经过A作直线与⊙O₁相交于D，与⊙O₂相交于C，设弧BC的中点为M，弧BD的中点为N，线段CD的中点为K．求证：MK⊥KN．

Answer

首先将△KDN绕点K顺时针旋转180°得△GCK，连接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延长AB交MN于S，根据旋转的性质，即可得CG=DN，∠GCK=∠KDN，又由弧BC的中点为M，弧BD的中点为N，即可证得DN=BN，MC=MB，然后由圆的内接四边形的性质，可证得∠GCM=∠MBN，即可根据SAS证得△GCM≌△NBM，然后由等腰三角形的性质，证得MK⊥KN．
证明：将△KDN绕点K顺时针旋转180°得△GCK，连接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延长AB交MN于S．…（3分）
则CG=DN，∠GCK=∠KDN，
∵弧BC的中点为M，弧BD的中点为N，
∴DN=BN，MC=MB，…（6分）
∴CG=BN，
又∵∠KCM=∠MBS，∠GCK=∠KDN=∠SBN，
∴∠GCM=∠MBN，…（9分）
在△GCM与△NBM中，
，
∴△GCM≌△NBM（SAS），…（10分）
∴GM=MN．
又GK=KN，
∴MK⊥KN…（12分）