Question

如图1，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．

Answer

（1）根据点A的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点B的坐标，根据A、B的坐标，可得到直线AB的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为M）坐标，以OM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△BOA的面积，已知此面积为3，即可求得点B的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（-2，-2），C（-4，-4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°，此时B1（B点的对应点）位于OC的中点位置上，可延长OA至E1，使得OE=2OA1，那么根据三角形中位线定理即可得到B1A1∥CE，那么E1就是符合条件的点E，A1的坐标易求得，即可得到点E1的坐标；
②参照①的方法，可以OC为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，然后按照①的思路延长OA2至E2，即可求得点E2的坐标．
【解析】
（1）∵反比例函数经过A（1，4），
∵k=1×4=4，即y=；
设B（m，），已知A（1，4），可求得
直线AB：y=-x+4+；
∵S△BOA=×（4+）×（1-m）=3，
∴2m2+3m-2=0，
即m=-2（正值舍去）；
∴B（-2，-2）．
由于抛物线经过A、B两点，则有：
，
解得；
∴y=x2+3x．
故a=1，b=3，k=4．

（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；
∵直线AC∥x轴，且A（1，4），
∴C（-4，4）；
已求得B（-2，-2），则有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x轴于N．
∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA1=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA1，
又∵OA=OA1，∠AMO=∠A1NO
∴△AOM≌△OA1N，
∴A1N=OM=1，ON=AM=4
∴A1的坐标是（4，-1），
此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE=2OA1，
则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；
则E1（8，-2）；
②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，
延长OA2至E2，使得OE2=2OA2，
则△COE2≌△COE1∽△BOA；
易知A2（1，-4），则E2（2，-8）；
故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，-2），E2（2，-8）．