Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是的中点，OF与AC相交于点E，AC=8cm，EF=2cm．
（1）求AO的长；
（2）求sinC的值．

Answer

（1）由F是的中点，根据垂径定理的推论，得到OF⊥AC，AE=CE=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理即可计算出OA；
（2）由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠AOE=∠C，所以sinC=sin∠AOE，在Rt△AEO中，即可得到sin∠AOE的值．
【解析】
（1）∵F是的中点，
∴，
又OF是半径，
∴OF⊥AC，
∴AE=CE，
∵AC=8cm，
∴AE=4cm，
在Rt△AEO中，AE2+EO2=AO2，
又∵EF=2cm，
∴42+（AO-2）2=AO2，解得AO=5，
∴AO=5cm．

（2）∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠C=90°，（1分）
∴∠AOE=∠C，
∴sinC=sin∠AOE，
∵，
∴．