Question

如图已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，CD=10，P是线段AB上的一个动点，设PB=x，△PCD的面积为y，
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求当x为何值时，△APD∽△BPC．
（3）求当x为何值时，PC平分∠BCD．

Answer

（1）过D作DE⊥BC于E，利用直角梯形的性质和勾股数易得到EC=6，而y=S梯形ABCD-S△PAD-S△PBC，然后利用梯形和三角形的面积公式计算即可y与x之间的函数关系式；
（2）根据三角形相似的判定定理得到当AP：BP=AD：BC时，Rt△APD∽Rt△BPC，即（8-x）：x=6：12，即可求出x的值；
（3）过P作PH⊥DC于H，根据角平分线的判定定理得到当PH=PB时，PC平分∠BCD，则PH=x，得到△PCD的面积为y=PH•DC=•x•10=5x，然后和（1）中的结论建立方程关于x的方程，解方程即可．
【解析】
（1）过D作DE⊥BC于E，如图，
∵AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，
∴BE=AD=6，DE=AB=8，
在Rt△DEC中，DC=10，
∴EC=6，
∴BC=6+6=12，
而PB=x，则PA=8-x，
∴y=S梯形ABCD-S△PAD-S△PBC=•（6+12）•8-•6•（8-x）-•x•12=-3x+48（0≤x≤8）；

（2）当AP：BP=AD：BC时，Rt△APD∽Rt△BPC，
∴（8-x）：x=6：12，
解得x=．
∴当x为时，△APD∽△BPC；

（3）过P作PH⊥DC于H，如图，
当PH=PB时，PC平分∠BCD，
∴PH=x，
∴y=PH•DC=•x•10=5x，
而y=-3x+48（0≤x≤8），
∴5x=-3x+48，
解得x=6．
∴当x为6时，PC平分∠BCD．