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已知抛物线y=x2+2px+2p-2的顶点为M, (1)求证抛物线与x轴必有两个...

已知抛物线y=x2+2px+2p-2的顶点为M,
(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点;
(2)设抛物线与x轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.
(1)先判断出△的符号即可得出结论; (2)设A(x1,0),B(x2,0),利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式,设顶点M(a,b),再把原式化为顶点式的形式,即可得到b=-(p-1)2-1,根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答. 【解析】 (1)∵△=4p2-8p+8=4(p-1)2+4>0, ∴抛物线与x轴必有两个不同交点. (2)设A(x1,0),B(x2,0), 则|AB|2=|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=4p2-8p+8=4(p-1)2+4, ∴|AB|=2. 又设顶点M(a,b),由y=(x+p)2-(p-1)2-1. 得b=-(p-1)2-1. 当p=1时,|b|及|AB|均取最小,此时S△ABM=|AB||b|取最小值1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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