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已知:矩形ABCD(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y=manfen5.com 满分网x-1经过这两个顶点中的一个.
(1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;
(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y=ax2+bx+c的顶点是P点.
①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围;
②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=manfen5.com 满分网x-1的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由.

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(1)首先建立平面直角坐标系,由矩形ABCD中,AB=3,AD=2,设A(m,0)(m>0),则有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);然后若C点过y=x-1与C点不过y=x-1分析,即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标; (2)⊙M以AB为直径,即可求得M点的坐标,又由y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点,利用待定系数法即可求得二次函数的图象,然后顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,即可求得a的取值范围; ②首先设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0;由AD、BC、CF均为⊙M切线,求得CF与DF的长;在Rt△DCF中,由勾股定理求得n的值,可得F的坐标,然后由当PF∥AB时,求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标,则可得Q在直线y=x-1下方. 【解析】 (1)如图,建立平面直角坐标系, ∵矩形ABCD中,AB=3,AD=2, 设A(m,0)(m>0),则有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2); 若C点过y=x-1;则2=(m+3)-1, m=-1与m>0不合; ∴C点不过y=x-1; 若点D过y=x-1,则2=m-1,m=2, ∴A(2,0),B(5,0),C(5,2),D(2,2); (2)①∵⊙M以AB为直径, ∴M(,0), 由于y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点, ∴, ∴, ∴y=ax2-7ax+10a (也可得:y=a(x-2)(x-5)=a(x2-7x+10)=ax2-7ax+10a) ∴y=a(x-)2-a; ∴抛物线顶点P(,-a) ∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部, ∴<-a<2, ∴-<a<-. ②设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0; ∵AD、BC、CF均为⊙M切线, ∴CF=n+2,DF=2-n;在Rt△DCF中, ∵DF2+DC2=CF2; ∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=, ∴F(2,) ∴当PF∥AB时,P点纵坐标为; ∴-a=, ∴a=-; ∴抛物线的解析式为:y=-x2+x-5, 抛物线与y轴的交点为Q(0,-5), 又直线y=x-1与y轴交点(0,-1); ∴Q在直线y=x-1下方.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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