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若m为整数,在使m2+m+4为完全平方数的所有m的值中,设其最大值为a,最小值为...

若m为整数,在使m2+m+4为完全平方数的所有m的值中,设其最大值为a,最小值为b,次小值为c.
(1)求a、b、c的值;
(2)对a、b、c进行如下操作:任取两个求其和再除以manfen5.com 满分网,同时求其差再除以manfen5.com 满分网,加上剩下的一个数,这样就仍得到三个数.再对所得三个数进行如上操作,问能否经过若干次上述操作,得到2004,2005,2006?证明你的结论.
(1)设m2+m+4=k2(k为非负整数),则有m2+m+4-k2=0,由m为整数知其△为完全平方数,即1-4(4-k2)=p2(p为非负整数),(2k+p)(2k-p)=15,显然2k+p>2k-p,再分别求出a、b、c的值即可. (2)根据题意所述进行计算可得出规律,继而可判断出答案. 【解析】 (1)设m2+m+4=k2(k为非负整数),则有m2+m+4-k2=0, 由m为整数知其△为完全平方数,即1-4(4-k2)=p2(p为非负整数), (2k+p)(2k-p)=15,显然:2k+p>2k-p, 所以或, 解得p=7或p=1, 所以m=, 得:m1=3,m2=-4,m3=0,m4=-1, 所以a=3,b=-4,c=-1. (2)因为, 即操作前后,这三个数的平方和不变, 而32+(-4)2+(-1)2≠20042+20052+20062. 所以,对a、b、c进行若干次操作后,不能得到2004,2005,2006这三个数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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