Question

如图，抛物线y=ax²-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上有一点C，使∠B=∠OCA，
（1）求OC的长及的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

Answer

（1）本题须先令抛物线y=0，可得出A、B的坐标，即可确定OA，OB的长．根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式，即可求出OC和及的值．
（2）本题需根据C是BP中点，因此C的横坐标是B点横坐标的一半，在（1）中已经求得了OC的长，因此不难得出C点的坐标．将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．再把B、C点的坐标代入直线的解析式即可结果．
【解析】
（1）由ax2-8ax+12a=0（a＜0）
得x1=2，x2=6．
即：OA=2，OB=6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC2=OA•OB=2×6．
∴OC=2 或-2 （舍去）．
∴线段OC的长为2 ．
∵△OCA∽△OBC
∴
∴==

（2）设AC=k，则BC=k
由AC2+BC2=AB2得
k2+（ k）2=（6-2）2
解得k=2（-2舍去）
∴AC=2，BC=2 =OC
过点C作CD⊥AB于点D
∴OD=OB=3
∴CD=
∴C的坐标为（3，）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得 =a（3-2）（3-6）
∴a=-
∴抛物线的函数关系式为：
y=-x2+x-4 ．
设直线BP的解析式为y=kx+b
把B、C点的坐标代入得

解得
∴直线BP的解析式为y=-