Question

若f（n）为n²+1（n为正整数）的各位数字之和，如：6²+1=37，则f（6）=3+7=10．记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），f_k+1（n）=f（f_k（n）），k为正整数，则f₂₀₁₁（8）=    ．

Answer

通过观察前几个函数值的规律得，fn（8）构成一个周期为3的周期性的数列，再利用数列的周期性即可解决问题．
【解析】
82=64，64+1=65，6+5=11，∴f1（8）=f（8）=11；
112=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f2（8）=5；
52=25，25+1=26，2+6=8，∴f3（8）=8；
82=64，64+1=65，6+5=11，∴f4（8）=11，
∴fn（8）构成一个周期为3的周期性的数列，
∴f2011（8）=f3×670+1（8）=f1（8）=11．
故答案为11．